Alea Jacta Est

Está fórmula desarrollada por el profesor Arpad Emrick Elo para asignar la posición entre jugadores de ajedrez, fue usada por Mark Zuckerberg para un sitio web que antecedió a Facebook.

En la película "Redes Sociales" el compañero de cuarto de Mark en la universidad, y posterior socio, Eduardo Severin, le muestra una formula que dibuja en la ventana del cuarto universitario. Ésta fórmula resulta ser la base para el sitio Facemash, que permitía comparar dos rostros de chicas de la universidad de Hardvard, y poder marcar cuál era más atractiva y cuál no o si empataban. De este modo se iba haciendo para cada una de las chicas en la base de datos un ranking de popularidad.

El modo de asignar este ranking se basa en el algoritmo desarrollado por Elo para rankear a los jugadores de ajedrez considerando su nivel, esto es muy importante, pues no se puede comparar a quien tiene un nivel muy alto contra alguien que posee un bajo puntaje. en ese sentido, si así fuese, la fórmula pondera en función de la diferencia, asignando menos puntaje al que tenía más si es que gana, o un mayor puntaje al que derrotó a uno de alto nivel.

La fórmula es la siguiente:

En donde Ea es el ranking esperado para el jugador "a" y Eb es el ranking esperado para el jugador "b". El Ranking esperado surge a partir de los puntajes previos de los jugadores. Los cuales están expresados en Ra y Rb para cada jugador respectivamente. A partir de ahí la fórmula es fácil. Teniendo los puntajes del ranking de ambos jugadores, se puede extraer el ranking esperado.

Sin embargo esto sólo permite obetener el valor del ranking esperado, posteriormente debe ser procesado junto con los resultados en una segunda formula que es continuación de la anterior. La fórmula para generar el nuevo puntaje es:

Rn = Ro + C * (S - Se)

El nuevo ranking está expresado con Rn. Ro es el ranking anterior (que se usó con Ra y Rb). C es una constante que varía de acuerdo al tipo de cálculo, para esto efectos la dejaremos en 30. El símbolo S especifica el resultado del encuentro, es decir, si gana, pierde o empata, el valor para esto es 1,0 para ganar, 0,5 para empate y 0,0 para la derrota. Y finalmente Se es el ranking esperado, que es el valor que obtuvimos en la formula primera.

Veamos cómo funciona. Supongamos que tenemos 2 competidores (A y B) con puntajes de 300 y 400 respectivamente. Antes de enfrentarse calculamos las posibilidades para cada uno.

El estimado para el jugador A (Ea) se calculará así:

Ea = 1/10^(400-300)/400 = 0,360

El estimado para el jugador B (Eb) será :

Eb = 1/10^(300-400)/400 = 0,640

Entonces tenemos que el factor esperado de acuerdo a su puntaje previo para cada uno es

Jugador A = 0,360

Jugador B = 0,640

Veamos entonces la segunda parte de la formula, que se realiza una vez que los jugadores se han enfrentado.

Para obtener el Ranking nuevo (Rn) calculamos de la siguiente manera, suponiendo que A perdió y B ganó.

Rna = 300 + 30 * ( 0,0 - 0,360 ) = 289

Rnb = 400 + 30 * ( 1,0 - 0,640 ) = 411

A bajó su puntaje y B subió 11 puntos.

Sin embargo, si A hubiese llegado al torneo con 100 puntos y además hubiese ganado el resultado sería entonces :

Rna = 125

Rnb = 375

Con una diferencia de 25 puntos en vez de 11. Lo que pondera la diferencia de puntos al iniciarse el juego y el resultado de éste. En cambio si A hubiese perdido el resultado hubiese sido:

Rna = 95

Rnb = 405

Como ven una diferencia de 5 puntos, lo que hace justicia a la diferencia original de ambos jugadores.